martes, 20 de enero de 2015

El d20 y su incertidumbre

En este artículo previo toque el punto del a entropía de la información y explique como ciertos mecanismos de resolución pueden ser considerados aleatorios aun cuando no involucran el uso de dados. Expliqué como la entropía de la información es una medida de la cantidad de información en un mensaje y apoyé esto con un ejemplo de una moneda cuya entropía es 1 y de una moneda con dos caras cuya entropía es 0. La moneda de dos caras siempre cae en cara, no nos aporta información ya que sabemos que resultado tendremos antes de realizar el tiro.

Ahora es hora de ver algo más interesante y mucho más común en nuestro hobby, el d20.

¿Cuál es la entropía de un d20 a medida que es más difícil realizar nuestra acción? ¿Qué implica esto para nuestros jugadores, GMs y diseñadores?


La siguiente tabla muestra la entropía de un evento dado un valor necesario para tener éxito (calculado con la suma del logaritmo base dos y todas esas cosas que resultan aburridas ver aquí y que podemos investigar en wikipedia).


d20


requeridofracasoéxitoentropía
835.00%65.00%0.93
940.00%60.00%0.97
1045.00%55.00%0.99
1150.00%50.00%1.00
1255.00%45.00%0.99
1360.00%40.00%0.97
1465.00%35.00%0.93
1570.00%30.00%0.88
1675.00%25.00%0.81
1780.00%20.00%0.72
1885.00%15.00%0.61
1990.00%10.00%0.47
2095.00%5.00%0.29
21100.00%0.00%0.00


Noten como la entropía llega a su máximo en 11 cuando la probabilidad de éxito o fracaso es igual y decae hacia ambos lados, llegando a 0 en 21 y 1, puntos en los cuales no tiene sentido tirar ya que el fracaso o éxito están garantizados. La siguiente figura muestra la gráfica de la entropía para todos los valores.


Dado que la entropía es una medida de la incertidumbre es fácil entender el valor descendente hacia las orillas. Si el personaje requiere 2 o más para acertar un golpe hay poca incertidumbre sobre su éxito. Por otro lado si requiere 20 o más es casi seguro que errará y si requiere 21 o más seguramente fallará. No incertidumbre en este caso y la entropía es cero. No es necesario tirar el dado ya que una entropía de cero significa cero información, no aporta nada nuevo dicho tiro.

Les muestro otro ejemplo de esto haciendo una serie de tiros de ataque. Escribiré F cuando fracasa el tiro y X cuando tiene éxito. En tiros con probabilidades de éxito y fracaso parejas o casi parejas (entre 8 y 14, la cadena de caracteres se ve algo como esto:

XFXXFXFFXFXFXXFFXFFXXFXFXFXXFF.....

Hay una presencia bastante pareja de X y F

Por otro lado si me muevo a la derecha de la gráfica, a un punto donde se requiere 18 o mejor la cadena se ve algo así:

FFFXFFFFSFXFFFFFFXXFFFFFFXFFXF.....

Habrán muchas más F que X y habrá tal vez dos X seguidas pero sera poco común.

En los dos extremos las cadenas se ven asi:

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX.....
o
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF.....

No hay incertidumbre, mi personaje o siempre acierta o siempre erra.

¿Cuál es la importancia de esto? Bueno, ¿puede ahorrarnos tiempo sabiendo que no tenemos que tirar esos dados si muy probablemente fracasaremos? Obviamente no puedo adivinar el futuro y por ello no puedo evitar hacer el tiro excepto en los puntos extremos en los que el resultado es seguro. En los demás puntos siempre hay una probabilidad de éxito o fracaso, por más pequeña que sea esta.

Realmente no nos ahorra nada, pero nos ayuda si lo comparamos con otros mecanismos de resolución. Por ejemplo aquellos donde algo es decidido por el jugador. Reducir la entropía del tiro es como subconscientemente reducir las opciones del jugador. Si llegando a un cruce en un calabozo el jugador tiene la misma libertad de elegir cualquier otro camino pero, a medida que se adentra más al calabozo, le cuesta más elegir los caminos hacia la izquierda que la derecha, entonces podemos decir que el jugador está perdiendo entropía. Obviamente eso no le sucede a nadie, pero que terrible si nos sucediera, pero si le pasa a los dados, y si dependemos de ellos entonces nos pasa a nosotros de manera indirecta. Hacemos todo el labor de tirar dados y sumar modificadores para obtener cada vez menos información. Cuanto mejor es mi personaje menos variabilidad tienen sus ataques. Empiezo a perder emoción.

Ahora bien, ¿qué pasa si agregamos más resultados?

Revisaré la primera tabla y tomaré tres valores: 11, 16 y 19, para calcular la entropia cuando 1 representa un fracaso crítico y 20 un éxito contundente. Las siguientes tablas muestran la contribución individual de cada resultado a la entropía total y el total de dicho valor en la parte inferior de la columna de entropía. Noten como la entropía para un tiro de 11 ha aumentado de 1 a 1.469, ¡un aumento de casi 50%! Nuevamente a medida que se hace más difícil acertar un golpe la entropía vuelve a bajar, 1.257 cuando se requiere un 16 y 0.848 cuando se requiere un 19.


d20 tohit 11probabilidadentropía
crit miss 15.00%0.216
fracaso45.00%0.518
éxito45.00%0.518
crit hit 205.00%0.216

100.00%1.469



d20 tohit 16probabilidadentropía
crit miss 15.00%0.216
fracaso70.00%0.360
éxito20.00%0.464
crit hit 205.00%0.216

100.00%1.257



d20 tohit 19probabilidadentropía
crit miss 15.00%0.216
fracaso85.00%0.199
éxito5.00%0.216
crit hit 205.00%0.216

100.00%0.848

Lo que resulta interesante es observar los elementos individuales. Los resultados críticos siempre agregan 0.216 bits de entropía. Cuando se requiere un 19 o más para tener éxito la probabilidad de fracaso es 85%, sin embargo este resultado aporta tan solo 0.199 bits de entropia y exito y exíto contundente (crit hit 20) aportan la misma entropía (0.216). Esto es contra intuitivo, ¿cómo puede ser que un resultado que apenas es posible (exito) aporte lo mismo que uno que debería ser menos probable (éxito contundente)? Después de todo si apenas puedo acertar el golpe no veo razón de tener tanta probabilidad de algo mucho más exitoso como daño doble. Esto me da una sensación rara cada vez que juego con d20. Un escalón muy pronunciado en este punto lleno de zonas de fracaso. Tiro los dados para una gran cantidad de "nada".

Ahora cambiemos esto y aumentemos un resultado crítico no fijo en 1 y 20. Que el resultado crítico ocurra en el to-hit -10 o -15 y también +10 y +15. Las siguientes tablas muestran que pasa cuando el crítico no ocurre en 1 solamente, ocurre en 4 (to-hit menos 15) y 9 (to-hit menos 10).

d20 tohit 19probabilidadentropía
crit miss 420.00%0.464
fracaso70.00%0.360
éxito5.00%0.216
crit hit 205.00%0.216

100.00%1.257



d20 tohit 19oddsentropía
crit miss 945.00%0.518
fracaso45.00%0.518
éxito5.00%0.216
crit hit 205.00%0.216

100.00%1.469

Esto representa la probabilidad de que siendo malo se sea bastante malo. Al aumentar la probabilidad de error crítico hay mayor riesgo de tomar una acción en la que no se es bueno. Noten como la entropía sube de 0.848 a 1.257 bits. ¡Hay más cosas sucediendo ahora! El fracaso crítico es ahora un elemento más importante de la historia. Mientras antes tenía siempre .216 de entropía ahora sube a .464 o .518. Considero que en los dos casos la entropía está muy cercana (aproximadamente 10% diferencia), pero la probabilidad de fracaso critico es el doble en una que en la otra. En lo personal me quedo con la regla de critico = tohit - 15, la primera tabla donde el crítico sucede con un 4 o menos. La probabilidad me resulta más justa y no hay mucha diferencia en entropía.

Recordemos de la gráfica inicial que este comportamiento es simétrico. Revisemos que sucede con el super personaje que solo requiere un 3 o mejor para acertar un golpe. Tomando la regla de 15 puntos de diferencia, dicho personaje logra un golpe crítico en 17 o más. La siguiente tabla muestra el comportamiento. Vemos que las probabilidades y la entropía son las mismas pero en este caso para mayor éxito que fracaso.


d20 tohit 3probabilidadentropía
crit miss 15.00%0.216
fracaso5.00%0.216
éxito85.00%0.199
crit hit 205.00%0.216

100.00%0.848



d20 tohit 3probabilidadentropía
crit hit 15.00%0.216
fracaso5.00%0.216
éxito70.00%0.360
crit hit 1720.00%0.464

100.00%1.257

En un personaje muy bueno vemos el mismo comportamiento. En la primera tabla la entropía cae drasticamente a medida que mejora y mientras no ajustemos el fracaso crítico. El personaje es muy bueno, la probabilidad de errar es baja sin embargo una de cada dos vece que erro me corto la pierna. Lo peor de todo es que la probabilidad de cortarme la pierna es la misma que la de partir a tres goblins en dos de un solo golpe.

Ahora bien en la tabla de abajo las cosas cambian. Hay considerablemente mayor probabilidad de que esté partiendo dos o tres goblins a la mitad al mismo tiempo. Si, es claro que también me podré cortar la pierna en algún momento, pero los ataques épicos son ahora una parte más grande de la historia.

En conclusión revisé el tiro d20 desde su aplicación original y pasando por su modalidad con éxito rotundo y fracaso crítico. Es claro que cuanto mejor es el personaje menos variabilidad aporta el tiro. Ajustando el rango de críticos tenemos una regla que aporta un poco más por cada tiro. ¿Qué opinan ustedes? ¿Qué piensan de éxitos parciales y amañar (fudge) el tiro? ¿Es realmente hacer trampa o extraer algo adicional del tiro que no sea un simple si o no?